1. Количественный анализ 8'7 Функция ~(w, t) двух переменных w Е n и t Е V называется случайным про цессом, определенном на множестве V, если для любых t Е V и х Е R {R ~ множество всех действительных чисел) множество {wE nl ;(w.t)<x}E {3, {1.62) т. е. является случайным событием. Из условия (1.62) следует, что если на множестве V определен случай ный процесс ~(w, t), то каждому моменту времени t Е V поставлена в соот ветствие случайная величина ~,(w) = ~(w, t). Случайная величина ~,(w) называ ется сечением случайного процесса в момент времени t. Таким образом, чтобы на множестве V задать некоторый случайный про цесс, достаточно каждому моменту времени t Е V поставить в соответствие ту или иную случайную величину ~,(w), сечение этого случайного процесса. В силу этого случайный процесс можно обозначить ~,(w) или просто ~,. Если на множестве V задан случайный процесс ~(w, t), то при каждом фиксированном элементарном событии w Е n мы имеем функцию одного пе ременного t. Эту функцию, определенную на множестве V, называют траек торией, или реализацией случайного процесса ~(w, t). Пример 1.66. Рассмотрим случайный процесс ;(w,t) = t · 17(w) + 1, где t Е [О, +=) , 11 (w) = {_1 1 с вероятносгью 0,4, с вероятносгью 0,6. Сечением данного случайного процесса в момент времени t = 2 являет ся случайная величина 2Тj(w)+1. Траектории случайного процесса ~(w, t) изоб ражены на рис. 1.27. Пример 1.67. Случайный процесс на [0, +оо) определен следующим образом: 1 1, если t < 11 (w); ;(w.t)= 2, если t:::: 1J(w), где Т/(w) ~ некоторая положительная случайная величина. Сечением случайного процесса ~w. t) в момент времени t является случай ная величина, принимающая значение 1 с вероятностью, равной Р{ Т/(w) > t}, и значение 2 с вероятностью, равной Р{ Т/(w) ~ t}. Траектория случайного процесса ~w. t) имеет вид, изображенный на рис. 1.28. Важнейшими характеристиками случайных процессов являются математи ческое ожидание и дисперсия. Математическим ожиданием случайного процесса ~w. t), t Е V, называ ется функция m~(t), равная математическому ожиданию сечения ~(w), т. е. т~ (t) =Е(;, (w)), t Е V.
RkJQdWJsaXNoZXIy NzQwMjQ=