1. Количественный анализ 89 Так как E(1J) = 1· 0,4 + (-1) · 0,6 = -0,2,то ms(t) = -0,2t + 1. С другой стороны, D~ (t) = D(~t (w)) = D(t17 (w) + 1) = t2D(11), D (1J) = (1 + О, 2 )2 · О, 4 + (-1 + О, 2 )2 · О, 6 = О, 96. Значит, D~ (t) = О, 96 · t2 • Пример 1.69. Рассмотрим случайный процесс из примера 1.67, считая, что случайная величина ~(w) распределена показательно с плотностью р (х) = {0, если х < О; ~ е-х, если х ::=: о. Так как P{ry (m)::; t} =1- e-t, P{ry (m) > t} = е-1 , то Е (~t (w)) =1 · e-r + 2 · (1- e-r) =2 - e-r; D(~r (m)) = (1- (2- е-1 ))2 . e-t + (2- (2- е-1 ))2 (1- e-t) = e-t (1- е-1 ). Следовательно, т~ (t) = 2- е-1 , D~ (t) =e-r (1- е-1 ). Говорят, что случайный процесс ~(ш,t), t Е V, обладает независимыми приращениями, если при любых t~' t2 , ••• , tn Е V, t 1 < t 2 < ... < t", случайные величины ~r2 - ~~, ,;з - ,; 2 , ••• , gtn - gtn-r независимы. Случайные процессы с независимыми приращениями играют важную роль при моделировании эволюции финансовых показателей. Это объясняется тем, что финансовый рынок принято считать эффективным (efficient), если цены активов на этом рынке полностью отражают всю имеющуюся информацию об этих активах. На эффективном финансовом рынке изменения цен активов мoryr происходить только из-за появления новой информации (которая, во обще говоря, непредсказуема). Это означает, что изменения цены активов на таком рынке должны быть в некотором смысле независимы. 1.27. Важнейшие виды случайных процессов 1.27.1. Случайное блуждание Случайный процесс а (ш, t) , определенный на множестве V = {t 0 , t 0 + h, t 0 + 2h, ..., t 0 + kh, ...}, h >О, 8-3209
RkJQdWJsaXNoZXIy NzQwMjQ=