94 Энциклопедия финансового риск-менеджмента В частности, геометрическим броуновским движением (geometric Broш nian motion) является случайный процесс, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению: dS = (aS) dт + (aS) dщ (а, u - числа, u > О) (1.66) и начальному условию S, (т) =S. (1.67) Геометрическое браунавекое движение, определяемое условиями (1.66) и (1.67), можно найти в явном виде: Свойства геометрического броуновского движения 1. Eln(~)=(a-~2 ) (т-t), щ('r)=S·ea(r-rJ. В силу второго соотношения параметр а называют коэффициентом смещения (drift) геометрического броуновского движения. Это означает, что u является годовой волатильностью показателя, опи сываемого геометрическим броуновским движением (см. разд. 1.23). 3. При любом т случайная величина 1n(~) распределена нормально с параметрами {(а- ~2 )<т- t); cтJr=t}. Тогда S, имеет логнормаль ное распределение. Во многих случаях можно считать, что эволюция цены финансовых активов описывается геометрическим броуновским движением. Достаточно аккуратным такое моделирование оказывается, например, в случае обыкновенных акций. Пример 1.70. Инвестор считает, что цена бездивидендной акции описывается геометрическим броуновским движением с коэффициентом смещения 0,1 и годовой волатильностью 40%. В данный момент времени цена акции равна 100 долл. Инвестора интересует цена этой акции через месяц. В данном случае 1 a=0,1;u=0,4;т-t= 12 ;5 100 долл.
RkJQdWJsaXNoZXIy NzQwMjQ=