I. Количесrвенный анализ 67 Основные свойства нормального распределения 1. Если случайная величина gраспределена нормально с плотностью 1 _(х-а)2 р (х) = е 2S' , 4 .fii.s то E{t) = а; o-(t) = S. 2. Плотность нормально распределенной случайной величины симмет рична относительно математического О)КИдания этой случайной ве личины, т. е. асимметрия a(t) = О. В частности, P{g~E(t)} == P{g~E(t)} == 0,5. Эксцесс нормального распределения всегда равен 3. з. Вероятность того, что нормально распределенная случайная величи на будет отличаться от своего О)КИдаемого значения на величину, не превышающую одНого, двух или трех ее стандартных отклонений, рав на 68,3, 95.5 и 99,75% соответственно. Пример 1.52. Инвестор считает, что реализуемая доходность его портфеля облигаций за 6 месяцев имеет нормальное распределение с математическим О)КИданием 7% и стандартным отклонением 4%. Вероятность того, что реализуемая доходность ока)Кется: ме)КДу 7% - 4% = 3% и 7% + 4% = 11% равна 68,3%, ме)КЩ 7%- 2 · 4% = -1% и 7% + 2 · 4% = 15% равна 95,5%. 4. Если случайная величина g распределена нормально с параметрами (а, S), то случайная величина 11 =~~а (а= Е(~). S =а(~)) распределена нормально с параметрами (О, 1), т. е. имеет стандарт ное нормальное распределение. х-а х-а При этом если xl < х2· Z1 =Т· Zz =Т то Р{х1 :5 ~ :5 xz} =P{z 1 s 11 :5 zz} = 1Ф(z1 )-Ф(z2 ), eCJIИ Z1 ;;:: О; = 1 - Ф (Z2 ) - Ф (-Z1 ), eCJIИ Z1 < О, а Z2 ;;:: О; Ф(-z2 )-Ф(-z1 ), eCJIИ z 2 :5О. (1.55) Значения функции Ф(z) = Р{ 7J ~ z} при z~О приведены в табл. 1.1.
RkJQdWJsaXNoZXIy NzQwMjQ=