I. Количесгвенный анализ 69 Спедовательно, соотношение (1.55) позволяет находить различные вероят ности вида для произвольных нормально распределенных случайных величин. Пример 1.53. Менеджер считает, что стоимость, управляемого им портфеля облигаций распределена нормально с математическим ожиданием 10 млн. долл. и стандартным отклонением 2 млн. долл. Его интересует, какова веро ятность, что стоимость портфеля окажется между 6 млн. и 11 млн. долл. В данном случае 21 = 6 МJШ. ДОЛЛ. - 10 МJШ. ДОЛЛ. = _2 ; 2 МJШ. долл. 22 = 11 МJШ. долл. - 1О МJШ. долл. = О, 5 ; 2 МJШ. долл. Ф(-z1 ) =0,0228; Ф(z2 ) =0,3085 (см. табл. 1.1). Тогда Р{6 млн. долл. ~ ~ ~ 11 млн. долл.} =1- Ф(-z1 )- Ф(z2) = =1 - О, 0228 - О, 3085 = О, 6687, или 66,8'?/о. Пример 1.54. Предположим, что в условиях примера 1.53 менеджер хочет найти доверительный интервал для стоимости управляемого им портфеля с надежностью 95%. Иными словами, требуется найти интервал и= (Е(~)- у; Е(~)+ у) так, чтобы Р{~ Е u} =О,95. Имеем следующее равенство: 0.95 = Р{~ Е u} =1- 2Ф(z), у где z = s· Тогда Ф(z) = 0,025. С помощью табл. 1.1 найдем значение z = 1,96. Зна чит, у = z. s = 1,96. 2 млн. долл. = 3,92 млн. долл. Искомый доверительный интервал: (6,08 млн. долл.; 13,92 млн. долл.). 5. Линейная комбинация нормально распределенных случайных величин также распределена нормально. В частности, если случайные вели чины g и Т/ независимы и распределены нормально с параметрами (а1 , 5 1 ) и (а2, 5 2 ) соответсгвенно, то их сумма g+ Т/ распределена нормально с параметрами (а! + а2, Js~ + s;).
RkJQdWJsaXNoZXIy NzQwMjQ=